Андрей Мелешкевич родился в 1989 году в деревне Бытень Ивацевичского района Брестской области. Закончил Жировичский государственный аграрно-технический колледж, затем – Белорусский государственный аграрный технический университет.

Трудовую деятельность начинал в 2012 году в должности главного энергетика сельскохозяйственного производственного кооператива «Святая Воля» в Ивацевичском районе. Затем с 2014 по 2018 год возглавлял производственно-технический отдел открытого акционерного общества «Ивацевичипромстройэнерго». В июле 2018 года назначен начальником отдела архитектуры, строительства и жилищно-коммунального хозяйства Ивацевичского районного исполнительного комитета. С мая 2019 года и по настоящее время работал в должности начальника отдела жилищно-коммунального хозяйства Ивацевичского райисполкома.